横向方向的速度为：（见图3）

因此光线的偏折角为：（见图4）

这是牛顿力学得到的光线偏折角，而在广义相对论的修正下，偏折角应为上式的两倍，即：（见图5）

以质点为前提的光线偏折其结果虽然简单，但其讨论过于粗糙。而更一般的情形是非质点条件下的光线偏折。对于质量分布为ρ（ξ1ξ2ξ3）的延展透镜体，由于透镜到观测者和源的距离都远远大于透镜本身的厚度，因而在计算时可将透镜作平面近似，将之视为二维平面。因此，总偏转角等于各质元偏转角的矢量和：（见图6）

其中定义为体质量密度沿径向（光线方向γ3）积分后的面质量密度，（ξ1，ξ2）为透镜上的碰撞矢量。

以示意图中的“源1”为例来讨论光线路径方程。示意图中，Dd为观测者到透镜的距离，Dds为源到透镜的距离，Ds为观测者与源的距离。原则上Dd、Dds、Ds并不在直线z轴（测量角度所选的参考方向）上，但考虑到其横向距离远远小于纵向距离，因此忽略横向上的偏差而将纵向距离作为其空间距离。

示意图中各角度的意义分别为：β为引力透镜不存在时源的方向与z轴夹角；θ为引力透镜存在时，观测到的光线方向与z轴的夹角；α为光线的偏折角。值得一提的是，由于时空的弯曲，一般Ds≠Dd+ Dds。在小角度近似条件下（α、β、θ<<1），利用简单的几何关系可以得到：（见图7）

这就是光线路径方程，也称为透镜方程。对于给定的β、θ可能存在多个值。

已知定义定比偏转角公式为：（见图8）

函数k(θ)是一与角度θ相关的无量纲化的面密度，其数值的大小可用来判断引力透镜的类型：κ>1时为强透镜，κ<1时为弱透镜，κ<<1时为微透镜。当κ=1时，会出现一种奇妙的引力透镜现象现象，即爱因斯坦环。此时的光线路径方程可化为：

对应爱因斯坦环的直径为：（见图9、10）

由此可估算大质量的椭圆星系的爱因斯坦环θE最大可达2″，小质量椭圆星系和旋转星系的爱因斯坦环θE，而对于恒星级的微透镜，θE大致为0.001″量级，这对于截止2015年的光学望远镜是不可分辨的。

除了光线在接近史瓦西半径外，一般引力透镜所对应的引力都很弱，因而GMm/r<

在真实世界中，没有一种透镜是没有厚度的。在对引力透镜进行成像分析时，如果要将透镜本身的尺度考虑进去的话，这是一件相当麻烦且没有必要的事情。当源到透镜的距离，观测者到透镜的距离远远大于透镜本身的尺度时，常常忽略其厚度而将其沿视线方向的质量密度压缩到与视线垂直的二维平面上。在透镜尺度较小时——如恒星级、星系和星系团级的引力透镜——薄镜近似明显成立。而对于大尺度的引力透镜，这种近似也是适用的。因为对于低红移天体，引力透镜效应是体现不出来的；而对于高红移天体，暗晕的尺度与观测者到背景源的距离相比也是可以忽略的，因而大尺度结构一般只产生弱引力透镜，薄镜近似就同样合理。

小角近似完全是数学上的处理方法。观测结果显示，观测角（θ）、光线偏折角（α）都是在“秒”甚至“毫秒”的量级，完全可以将其看做小角度。因此，对推导中用到的三角函数作近似sinθ≈θ,tanθ≈θ（对于α、β也一样）后，表达式大大得到简化，一些积分也能得出解析表达式。

根据波粒二象性，光子并不总是沿直线传播的。在遇到障碍物时，光波还会发生衍射，此时光的传播方向将会发生明显偏转。但在处理引力透镜现象时并没有考虑光的波动性。原因在于透镜的尺度远远大于光波的波长，此时几乎没有衍射发生，因此可以用几何光学来处理透镜问题。

强引力透镜指能够明显地改变星像，形成双像、多重像以及环半弧和弧。强引力透镜主要存有两种情况，源和观测者的连线位于星系团的中心区域或位于星系的核心区域，且强引力透镜的放大率很大。

强引力透镜因其较强的增亮效应，可用于研究较远、较暗的背景星系。例如，星系团Abell2218中的子星系baby galaxy就是通过强引力透镜发现的。此外，强引力透镜还用来做星系、星系团的质量测定以及哈勃常数的测量。

弱引力透镜是由于宇宙物质密度场的扰动透过广义相对论效应所引起的空间弯曲所产生的一种光学现象。弱引力透镜一般不再明显地形成虚像，而是会使星像变亮，从而使可观测的天体增多。

在没有弱引力透镜现象时，星系的分布在理论上是已知的。再通过观测被扭曲的像的分布情况可以得到这种弱透镜的性质。而由弱透镜的性质就可以估算出构成它的星系或星系团的质量，这是宇宙学中相当重要的一种天体质量测量方法。

微引力透镜现象是由前景运动的天体产生的透镜现象。它与发生在星系尺度上的引力透镜现象相比，微引力透镜的源天体质量很小，因此光的偏转也小得多。通常通过微引力透镜只能观测到光度的瞬间增亮现象。

微引力透镜的一个重要应用在于，通过研究微引力透镜的出现率和特征可以估算星空中运动客体（特别是行星）的数目、质量以及一些其他相关信息。

产生引力透镜效应的前置天体可能是拥有巨型黑洞的星系、星系团，也可能是非重子暗物质。暗物质不发出任何辐射，不可能被直接观测到，但通过引力透镜效应能分析出它们的空间分布。于是引力透镜效应成为发现宇宙暗物质的探针。2007年5月15日，哈勃望远镜公布了星系团CL0024+17拥有暗物质环的图像，环径达260万光年。星系团CL0024+17位于双鱼座，距离50亿光年。暗物质环是根据它产生的引力透镜效应照片分析、描绘出来的。照片由哈勃望远镜于2004年11月拍摄，使用6种不同波长的滤光片，曝光14小时。照片中显示许多条蓝色弧段，那是被引力透镜效应畸变了的一些更遥远的星系。

中国两院院士评选2006年世界十大科技成果之一是:美国天文学家首次发现宇宙暗物质存在的直接证据。2006年8月21日哈勃和钱德拉空间望远镜公布了星系团1E0657-56“子弹星系团”的综合图像。该星系团位于船底座，距离34亿光年，是由两个大的星系团碰撞后合并形成的。红色区域是碰撞产生的高温气体，钱德拉望远镜拍摄的X图像;白色和黄色的众多星系是哈勃望远镜和美国6.5m麦哲伦望远镜拍摄的光学图像;蓝色区域属于星系团中的暗物质，根据星系团造成的引力透镜效应分析、描绘出来。图像清楚的显示出，在星系团碰撞的过程中由普通(重子)物质组成的高温气体与暗(非重子)物质都对称地分离了，而暗物质比普通物质分离得更远一些。原因是重子物质之间有相互作用力，起到阻滞作用，而非重子物质之间没有。图像的拍摄时间是2004年8月10—15日，共用140h。2007年8月16日和2008年8月27日，哈勃和钱德拉望远镜又公布两张类似的照片:猎户座Abell520星系团，距离24亿光年;鲸鱼座MACSJ0025.4-1222星系团，距离59亿光年。这些都是宇宙暗物质存在的直接证据。

2007年1月，欧洲和美国的科学家首次公布了局部宇宙空间暗物质分布的三维图，被列入中国两院院士评选的2007年世界十大科技成果之一。这是位于六分仪座的一片天区，2.2平方度，相当于9个满月的面积。距离分3个层次:35，50和65亿光年。局部宇宙空间的广度为0.6×1亿光年，深度30亿光年。这项成果由70位天文学家共同完成。他们分析了哈勃望远镜花1000小时拍摄的575幅照片，找出50万个受引力透镜效应畸变的星系。星系距离的测量使用了位于夏威夷的日本8.3m望远镜，还使用了欧洲的ESA-XMM空间望远镜和位于智利的ESO-VLT4×8.2m地面望远镜，以及美国的VLA射电望远镜阵的资料。从当代精确宇宙学的研究进展，人们惊讶地发现：自然科学发展到今天，对宇宙的总体认识，只有不足5%的亮物质算是被了解清楚了;占22.8%的暗物质还处在朦胧待测之中;另外的72.6%属于令人类更加茫然的暗能量。暗物质和暗能量被称为21世纪物理学领域天空中的两朵乌云。19世纪末20世纪初，曾经有两朵小小的乌云，竟然酝酿出漫天的狂飙，动摇了几个世纪以来建成的物理学大厦。雨过天晴，相对论和量子力学这两座现代物理学理论架构巍然耸立，人类社会进入科学技术迅猛发展的新时期。人们期待着21世纪的两朵乌云，也会像100年前那样酝酿出新的狂飙，把人类认识宇宙、认识自然的能力推向一个更新的高度。

引力透镜效应发展不过几十年时间，但现在已经成为宇宙学中的一种重要测量手段。针对不同的尺度、距离、质量的天体，三种引力透镜交替发挥作用，提供了大量信息，这也为宇宙学的发展做出了重大贡献。可以预见，引力透镜效应的研究及其应用在将来具有巨大的前景。