更新时间：2023-05-15 23:20
康托尔定理(Cantor's Theorem)：用P(X)记X的一切子集构成的集，用cardX表示X的势，则cardX < cardP(X)。康托尔定理指的是在Zermelo-Fränkel集合论中，声称任何集合A的幂集（所有子集的集合）的势严格大于A的势。康托尔定理对于有限集合是明显的，但是令人惊奇的是它对于无限集合也成立。特别是，可数无限集合的幂集是不可数无限的。要展示康托尔定理的对于无限集合的有效性，只需要测试一下下面证明中无限集合。
设f是从A到A的幂集的任何函数。必须证明这个f必定不是满射的。要如此，展示一个A的子集不在f的像中就足够了。这个子集是
。
要证明B不在f的像中，假设B在f的像中。那么对于某个y∈A，我们有f(y) =B。考虑y∈B还是yB。如果y∈B，则y∈f(y)，但是通过B的定义，这蕴涵了yB。在另一方面，如果yB，则yf(y)并因此y∈B。任何方式下都是矛盾。
如果和皆为满射，则为满射。
为满射，当且仅当给定任意函数满足，则。
如果为满射，且是的子集，则，。因此，能被其原像复原。
任意函数都可以分解为一个适当的满射和单射，使得。
如果为满射函数，则在基数意义上至少有跟一样多的元素。
如果和皆为具有相同元素数的有限集合，则是满射当且仅当是单射。
f是定义在X上的函数，它的值是在X上的二值函数，则二值函数G(x) = 1 −f(x)(x) 不在f的值域中。
罗素在《数学原理》(1903, section 348)中给出了一个非常类似的证明，在这里他证明了命题函数要比对象多。“假设所有对象和所有和它们相关的命题函数之间有一种对应，并令phi-x为x所对应的命题函数。则'非-phi-x(xx对于xx假的时候为真，在phi-x真的时候为假，因此它和任何一个x所对应的phi-x不同”。他在康托尔之后贡献了这个想法。